搜狗做题网一道数学题（关于根式的证明）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 02:09:54
一道数学题（关于根式的证明）
设a,b∈（0,1）
求证：√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√[(1-a)^2+b^2]+2（可看做单位正方形的两条对角线之和,从题目的整体结构容易联想到勾股定理）
对不起 第一题打错了
1.设a，b∈（0,1）
求证：√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√2（可看做单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理）
2.已知a,b,c为正数，且a³+b³+c³=3abc,求证a=b=c
3.已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BD+AB=CD
设a,b∈（0,1）
求证：√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√[(1-a)^2+b^2]+2（可看做单位正方形的两条对角线之和,从题目的整体结构容易联想到勾股定理）
对不起 第一题打错了
1.设a，b∈（0,1）
求证：√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√2（可看做单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理）
2.已知a,b,c为正数，且a³+b³+c³=3abc,求证a=b=c
3.已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BD+AB=CD
你的第一题叙述不清,不等式右边的根号有没包括2?根号可以用^0.5表示,如（a^2+b^2）^0.5;
第二题简单:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2,因为a、b、c>0,故a=b=c；
第三题也简单：延长DB到E点,使得AB=BE,于是ΔABE为等腰三角形,故∠E=∠EAB=0.5∠ABD=∠C,又因为AD⊥BC,故ΔADC≌ΔADE,于是CD=DE=DB+BE=BD+AB
好了,给分吧~
再问： 第一题打错了 麻烦在看一下哦！谢谢
还有第三题 ，要不要讨论一下啊？即当△ABC为钝角三角形时……当△ABC为直角三角形时……当△ABC为锐角三角形时……因为当钝角三角形时点D不在线段BC上了
再答： 第一题很简单啊，你括号里的提示已经把题目做出来了啊，两点之间直线最短嘛~√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√2
设P点坐标为(a,b)，则不等式左边第一项为OP，第二项为PB，第三项为PC，第四项为PA，显然PA+PO≥OA=√2，PC+PB≥BC=√2，两式相加即得要证的不等式。至于第三题确实要讨论，ΔABC分∠B为锐角（上面已证），为直角（显然成立），为钝角时该式不成立，改为CD=AB-BD（证明的话延长BD到E使得BA=BE，则CD=DE=BE-BD=BA-BD）。你自己验证一下对不对吧~
第二题简单:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2,因为a、b、c>0,故a=b=c；
第三题也简单：延长DB到E点,使得AB=BE,于是ΔABE为等腰三角形,故∠E=∠EAB=0.5∠ABD=∠C,又因为AD⊥BC,故ΔADC≌ΔADE,于是CD=DE=DB+BE=BD+AB
好了,给分吧~
再问： 第一题打错了 麻烦在看一下哦！谢谢
还有第三题 ，要不要讨论一下啊？即当△ABC为钝角三角形时……当△ABC为直角三角形时……当△ABC为锐角三角形时……因为当钝角三角形时点D不在线段BC上了
再答： 第一题很简单啊，你括号里的提示已经把题目做出来了啊，两点之间直线最短嘛~√（a^2+b^2）+√[(1-a)^2+b^2]+√[(1-b)^2+a^2]+√[(1-a)^2+(1-b)^2]≥2√2
设P点坐标为(a,b)，则不等式左边第一项为OP，第二项为PB，第三项为PC，第四项为PA，显然PA+PO≥OA=√2，PC+PB≥BC=√2，两式相加即得要证的不等式。至于第三题确实要讨论，ΔABC分∠B为锐角（上面已证），为直角（显然成立），为钝角时该式不成立，改为CD=AB-BD（证明的话延长BD到E使得BA=BE，则CD=DE=BE-BD=BA-BD）。你自己验证一下对不对吧~