搜狗做题网高数-定积分-习题5-3第1题（8）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 17:41:50
高数-定积分-习题5-3第1题（8）
不要用csc和cot,这两个我不熟
不要用csc和cot,这两个我不熟
用三角函数更简单直接.也可以先采用倒数代换,再换元（去无理式）.
令 t = 1/x,dt = (﹣1/x²)dx
I = ﹣ ∫[√2,1] √(1-1/t²) dt
= ∫[1,√2] (1/t) √(t²﹣1) dt 令 u = √(t²﹣1) ,u²+1 = t²,u du = t dt
= ∫[0,1] u²/(1+u²) du
= u ﹣ arctanu | [0,1]
= 1 ﹣ π/4
再问： 什么时候可以用倒数法呢？我总找不到规律
再答： 一般是分母为 x 或 x² 时。
再问： 那这个时候不就可以令x=secx或tanx什么的了吗
再答： 三角代换也可以，有时很方便。也是为了将无理式化为有理式。
令 t = 1/x,dt = (﹣1/x²)dx
I = ﹣ ∫[√2,1] √(1-1/t²) dt
= ∫[1,√2] (1/t) √(t²﹣1) dt 令 u = √(t²﹣1) ,u²+1 = t²,u du = t dt
= ∫[0,1] u²/(1+u²) du
= u ﹣ arctanu | [0,1]
= 1 ﹣ π/4
再问： 什么时候可以用倒数法呢？我总找不到规律
再答： 一般是分母为 x 或 x² 时。
再问： 那这个时候不就可以令x=secx或tanx什么的了吗
再答： 三角代换也可以，有时很方便。也是为了将无理式化为有理式。