在Rt△ABC中,已知AB＝BC＝CA＝4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/12 01:27:12

在Rt△ABC中,已知AB＝BC＝CA＝4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点
如图,在△ABC中,已知AB＝BC＝CA＝4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s).

当点P运动到点D时,点Q正好运动到点A,此时△PDQ不存在,S△PDQ=0
∵AB=BC=CA=4 ∴∠BAC=∠C=∠B=60°
∵AD⊥BC ∴BD=DC=1/2BC=2
分两种情况讨论：（1）0＜x＜2时（Q点在AC）则BP=x CQ=2x ∴PD=2-x
过点Q作QM⊥BC,垂足为M ∴QM=√3x
∴y=S△PDQ=1/2PD*QM=√3/2x(2-x)=-√3/2(x-1)²+√3/2
∴x=1时 y有最大值√3/2
(2)2＜x＜4时（Q点在AB上）则BP=x DP=x-2 AC+AQ=2x AQ=2x-4
BQ=AB-AQ=4-(2x-4)=8-2x
过点Q作QN⊥BC,垂足为N ∴QN=√3/2BQ=√3(4-x)
∴y=S△PDQ=1/2PD*QN=√3/2(x-2)（4-x)=-√3/2(x-3)²+√3/2
∴当x=3时 y有最大值√3/2
综上所述,△PDQ的面积y与时间x的解析式为:
y=-√3/2(x-1）²+√3/2(0≤x≤2)
或y=-√3/2(x-3)²+√3/2(2≤x≤4)(x=0.2,4时,y=0 满足解析式）
当x=1或x=3时,y有最大值√3/2∴△PDQ的最大面积是√3/2.