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已知,如图,过正方形ABCD的对角线BD上一点P,作PE⊥BC于E,PE⊥CD于F,请你说明1.AP=EF 2.AP⊥E

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/25 01:25:11
已知,如图,过正方形ABCD的对角线BD上一点P,作PE⊥BC于E,PE⊥CD于F,请你说明1.AP=EF 2.AP⊥EF
已知,如图,过正方形ABCD的对角线BD上一点P,作PE⊥BC于E,PE⊥CD于F,请你说明1.AP=EF 2.AP⊥E
1、连接PC
∵PE⊥BC,PE⊥CD
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=∠ACD=90°
∴PECF是矩形
∴EF=CP
∵AD=CD
∠ADP=∠CDP=45°
PD=PD
∴△ADP≌△CDP(SAS)
∴AP=CP
∴AP=EF
2、延长FP交AB于M
延长AP交EF于G
∴MF⊥AB
∴BMPE是正方形(∠MBP=∠EBP=45°)
∴PE=PM
∵EF=AP
∠EPF=∠PMA=90°
∴△APM≌△FEP(SAS)
∴∠APM=∠FEP=∠FPG(对顶角相等)
∵∠PFG=∠EFP
∴△PEF∽△GPF
∴∠PGF=∠EPF=90°
∴AG⊥EF
即AP⊥EF