已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/31 05:25:21

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
（1）求证：EG=CG
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG,问（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?（均不要求证明）

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG．(1)求证：EG＝CG；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG．问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质易得GE＝GC．(2)根据条件构造平行四边形FCDM,连接ME、EC,易证△MFE≌△CBE,从而得到GE＝GC．(3)根据(1)、(2)的结论猜想：GE＝GC,EG⊥CG证明过程类似于(2)的证明．【解】(1)证明：在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴2CG＝FD,2EG＝FD．∴CG=EG．(2)(1)中结论仍然成立,即EG＝CG．证明：延长CG至M,使MG＝CG,连接MF,ME,EC,DM、FC．又∵FG＝DG,∴四边形MFCD为平行四边形．∴MF‖CD‖AB．在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵ MF＝CB,EF＝BE,∴△MFE≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴△MEC为直角三角形．∵ MG＝CG,∴2EG＝2CG＝MC．(3)(1)中的结论仍然成立,即EG＝CG．其他的结论还有：EG⊥CG．【说明】正方形是最特殊的四边形,它集矩形和菱形于一身,因而在考查四边形时,以正方形为背景的题目更具有灵活性、代表性和综合性,因而也成为了历届中考命题的热点．本题体现了数学内在的和谐美,体现了数学问题的“探索-猜想-证明”过程,注意了题目结论的可推广性．