（1）已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出

（1）已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来．只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系．

第一个问题
分割方法一：
在AC上取一点D,使AB＝AD,连结BD.则：△ABD、△BDC为两个等腰三角形.
此时∠ABD＝∠ADB=45°；　∠DBC＝∠DCB＝22.5°.
分割方法二：
取BC的中点为E,连结AE.则：△ABE、△ACE为两个等腰三角形.
此时∠EAB＝∠EBA＝67.5°；　∠EAC＝∠ECA＝22.5°.
第二个问题
令过点B的直线交AC于D.
∵△BCD、△ABD都是等腰三角形,
一、当∠BDC＝∠BCD时,有：∠BDC＞∠BAC,∴∠BCA＞∠BAC.
　　这与△ABC中∠C最小相矛盾,∴应舍去这种情况.
二、当∠DCB＝∠DBC时,
　　①若∠BDA＝∠A,则有：∠ADB＝（180°－∠ABD）/2,∠BDC＝180°－2∠C.
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°,∴（180°－∠ABD）/2＋180°－2∠C＝180°,
　　　∴（180°－∠ABD）/2－2∠C＝0,∴180°－∠ABD－4∠C＝0,
　　　∴∠ABD＝180°－4∠C,∴∠ABD＋∠DBC＝180°－3∠C,∴∠ABC＝180°－3∠C.
　　　此时,要满足：∠ABC＞∠C,∴180°－3∠C＞∠C,∴∠C＜45°.
　　　又∠BAC＝∠BDA＞∠C.
　　　∴只要∠C＜45°,就能满足条件.　这时,∠ABC＝180°－3∠C.
　　②若∠BDA＝∠DBA,则有：∠BDA＝2∠C,∴∠DBA＝2∠C,
　　　∴∠DBA＋∠DBC＝3∠C,∴∠ABC＝3∠C.
　　　此时,要满足：∠A＞∠C,而∠A＝180°－2∠DBA＝180°－4∠C,
　　　∴180°－4∠C＞∠C,∴∠C＜36°.
　　　∴只要∠C＜36°,就能满足条件.这时,∠ABC＝3∠C.
　　③若∠A＝∠ABD,则有：∠ADB＝180°－2∠ABD,∠BDC＝180°－2∠C,
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°,∴（180°－2∠ABD）＋（180°－2∠C）＝180°,
　　　∴180°－2∠C＝2∠ABD,∴∠ABD＝90°－∠C,∴∠ABD＋∠DBC＝90°,
　　　∴∠ABC＝90°.
　　　此时,要满足∠A＞∠C,∴90°－∠C＞∠C,∴∠C＜45°.
　　　∴只要∠C＜45°,就能满足条件.这时,∠ABC＝90°.
三、当∠CDB＝∠CBD时,
　　①若∠BDA＝∠A,则有：∠A＞∠C,
　　　且∠ADB＝（180°－∠ABD）/2,∠BDC＝（180°－∠C）/2,
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°,∴（180°－∠ABD）/2＋（180°－∠C）/2＝180°,
　　　∴180°－∠ABD＋180°－∠C＝360°,∴∠ABD＋∠C＝0°.这自然是错误的,应舍去.
　　②若∠BDA＝∠DBA,则有：∠ABD＝∠BDA＝∠C＋∠CBD,
　　　而∠CBD＝（180°－∠C）/2,∴∠ABD＝∠C＋（180°－∠C）/2,
　　　∴∠ABD＋∠CBD＝∠C＋180°－∠C,∴∠ABD＝180°.这也是错误的,应舍去.
　　③若∠A＝∠ABD,则有：∠ADB＝180°－2∠ABD,∠BDC＝（180°－∠C）/2,
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°,∴（180°－2∠ABD）＋（180°－∠C）/2＝180°,
　　　180°－2∠ABD＋90°－∠C/2＝180°,∴2∠ABD＋∠C/2＝0°.还是错误的,应舍去.
综上所述,满足条件的∠ABC与∠C间的数量关系有三种：
第一种：∠ABC＝180°－3∠C；第二种：∠ABC＝3∠C；第三种：∠ABC＝90°,与∠C无关.