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设a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断an+bn与cn的关系,并证明你的结论.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 02:18:44
设a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断an+bn与cn的关系,并证明你的结论.
设a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断an+bn与cn的关系,并证明你的结论.
当n=1,则a+b>c;
当n=2,则a2+b2=c2
当n≥3,则an+bn<cn
证明如下:
∵sinA=
a
c,cosA=
b
c,
而0<sinA<1,0<cosA<1,
∴n≥3,sinnA<sin2A,connA<con2A,
∴sinnA+connA<sin2A+con2A=1,
即(
a
c) n+(
b
c) n<1,
∴an+bn<cn