A=LU是n阶矩阵A的三角分解,L=(lij)是元素绝对值不大于1的下三角矩阵,ai和ui是A和U的第i行,证明见补充

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 04:43:14

A=LU是n阶矩阵A的三角分解,L=(lij)是元素绝对值不大于1的下三角矩阵,ai和ui是A和U的第i行,证明见补充
证明 U的无穷范数

必须要求A可逆,否则很容易找到反例比如2乘2矩阵A=L=（0,0；0,1）,U=（1,100；0,1）.
再问：嗯，谢谢~ A可逆，如何证明呢？不用举反例了~
再答：问题是这题对么？三角分解不唯一，保持A不变，可以把L的每个元素都除以N（任意正数），U的每个元素都乘以N，依然满足题目的条件，但是||U||是可以任意大的，不会被||A||的倍数限制住。其实我不是很熟悉矩阵分析。这是哪本书的题？或者是考研题？
再问：是考研真题。。。没有答案。。。原题抄下来了，为什么要把元素除以N呢？2的n-1次方凑不出来
再答：我的意思是说题目可能不对，比如说，随便取一个分解LU=A：（1, 0;1,1)* (1,1;0,1) = (1,1;1,2), 按照题目说的，2^{n-1} ||A|| =2*3 =6, 但我们可以通过“把L的每个元素都除以N（任意正数），U的每个元素都乘以N”这种方法构造反例：比如，取N=10，就有如下反例： L=(0.1, 0; 0.1, 0.1), U=(10, 10, 0, 10), A=LU = (1, 1; 1, 2). ||U||=20, 并不小于 2^1 * ||A|| = 6. 也许是题目有什么条件我没看懂？有没有要求L的主对角元等于1？图片的第三行是ai的转置？我做不出，再问问别人吧。祝顺利~ 附：当L的对角元为1时结论是对的。记L的逆矩阵为R，L和R的元素分别记作L(i,j), R(i,j)。A=LU 推出 U=RA，再由范数的性质推出（*）||U|| 小于等于 ||R|| *||A||. 对比要证明的结论，我们只需用 | L(i, j) | = k, k >= j 对应的项，其他项为0. 下面我们就代入具体的 i 求和： i=j，（***）告诉我们k 必须等于 j，于是有 1=I(j,j) = L(j,j) * R(j,j). 由于我们假设L的主对角元为1，L(j,j)=1. 所以 R(j,j)=1. 再代入i=j+1, （***）告诉我们 j+1 >= k >= j, 所以有 0 = I(j+1, j) = L(j+1, j) * R(j, j) + L(j+1, j+1) * R(j+1, j). 由于 L(j+1, j+1)=1, | L(j+1, j) |

A=LU是n阶矩阵A的三角分解,L=(lij)是元素绝对值不大于1的下三角矩阵,ai和ui是A和U的第i行,证明见补充 A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU,L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵,求证 A的所有顺序主子式均不为零. 任何n阶矩阵是一组三角矩阵（包括上三角矩阵和下三角矩阵）的乘积设A是一个n阶上三角矩阵,并且主对角线上的元素不为0,如何证明它的逆矩阵也是上三角形矩阵? 设A=(aij)n×n是上三角矩阵,A的主对角线元相等,且至少有一个元素aij≠0,证明A不能 . 证明:n阶主对角元素为正数的上三角正交矩阵是单位矩阵设A是实数域上n级可逆矩阵,证明：A可唯一分解成A=TB.其中T是正交阵,B是主对角元都为正的上三角矩阵. 输入一个正整数n(1≤n≤6)和n 阶矩阵a 中的元素,如果a 是上三角矩阵,输出“YES”；否则,输出“NO” 证明：上三角矩阵的和,差,数乘和乘积仍是三角矩阵线性代数矩阵题设A是n阶矩阵,x是每个元素都是1的n维列向量,证明：列向量Ax的第i个元素等于A的第i行各元素之和已知满秩矩阵A的LU分解存在.试证明该分解是唯一的 1、定义一个N*N的矩阵,输出其对角线元素、上三角矩阵和下三角矩阵； 2、编程实现N阶方阵的乘法运算.