求由曲面z=2-x^2 ,z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/25 05:37:17
求由曲面z=2-x^2 ,z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积
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首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到:
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了:x²+y²=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分:
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易:
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π.
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了:x²+y²=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分:
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易:
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π.
计算由曲面z=1-x^2-y^2与z=0所围成的立体体积
求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积.
求由曲面z=2-x^2 ,z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积
求由旋转抛物曲面Z=x^2+y^2与平面z=1所围成的立体的体积
利用三重积分计算由曲面z= √(x^2+y^2),z=x^2+y^2所围成的立体体积
求由曲面z=x^2+y^2,z=4-y^2所围立体的体积,用三重积分
求由曲面z=x²+2y²及z=6-2x²-y²所围成的立体的体积.
求由曲面z=0及z=4-x^2-y^2所围空间立体的体积?二重积分解
求曲面z=1 4x^2 y^2与xoy面所围成的立体的体积
求曲面z=x²+2y²与z=6-2x²-y²所围成的立体体积 (求:图怎么画.)
利用三重积分计算由下列各曲面所围立体的体积.球面x^2+y^2+z^2=2(z>=0),平面z=
求曲面z=x^2+y^2和z=6-2x^2-2y^2所围成的立体的体积