正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 03:47:45

正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

对称矩阵不同特征值的特征向量一定是两两正交的,不需要加正规矩阵的条件:
设对称矩阵A特征值a1对应特征向量x1,a2对应特征向量x2,我们来证明x1'x2=0
考虑a1x1'x2=(a1x1)'x2=(Ax1)'x2=x1A'x2
a2x1x2=x1(a2x2)=x1Ax2.
这里A是对称阵,所以a1x1'x2=a2x1'x2,就是(a1-a2)x1'x2=0,因为a1和a2不等是已知条件,所以x1'x2=0.
这里要注意Ax=ax,然后x1,x2都是向量,a1和a2都是数,x1'x2是向量的内积也是一个数..其他的就都是高中知识了

正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交吗证明实对称矩阵不同特征值的特征向量必定正交不同特征值对应的特征向量一定正交嘛?还是只对正交矩阵而言? 矩阵A^2=E,且有不同的特征值,不同特征值的特征向量正交,证明A为正交阵实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的,那反之呢? 为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢? 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量除了正交外还有其他的关系吗? 是不是只有实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的. （线性代数）实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交怎么证明实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交任何一个矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交吗