一道线性代数问题利用等价分解证明n阶方阵可以写成一个可逆阵与一个对称阵之积

一道线性代数问题
利用等价分解证明n阶方阵可以写成一个可逆阵与一个对称阵之积

对于(A)T必存在初等矩阵P1,P2……Ps使P1P2……Ps(A)T变为阶梯型,Pi中不含E(i(k))
a1 ……
a2 ……
……
an
令P=P1P2……Ps,且P必定可逆
a1*a2*……an为行列式A的值,设为v
若v不等于0
令Q=(A)TA/v,且Q对称
则PQ=(P(A)T)A/v=vA/v=A
若v=0
令Q=0,且Q对称
PQ=0=A
再问： 非常感谢回答……不过还是有点不明白…… P(A)T的结果不是(A)T变换之后的阶梯型吗？是怎么得到的(P(A)T)A/v=vA/v ？
再答： 我看错了以为是行列式。 若det|A|不等于0,则A可逆，(A)T可逆 所以必存在可逆矩阵P，Q 使 P(A)TQ=E，因为(A）T可逆，所以可以写成PQ(A)T=E，这个书上有证明，在如何用初等变换求逆矩阵的那部分说的。 PQ(A)T(A)=EA=A 这里C=PQ，D=(A)TA,则CD=A，其中C可逆，D对称 对于det|A|等于0的情况你可以先用上面方法和分块矩阵想一想，不懂再追问
再问： 实在是不好意思，本人愚笨，昨晚想了好久还是不得要领…… 如果按照之前的思路的话，是要构造两个矩阵来达到题设的要求，可如果A奇异的话，是没有办法构造一个矩阵使得P(A)T的结果是单位阵的……想了很多种分解的办法，上三角、广义逆矩阵等等……都不能达到题设中要求的构造一个可逆矩阵…… 一直纠结了一上午，还是没想明白到底该怎么把这个题证明出来…… 还请多多指教，万分感谢……
再答： 上一种是从分解开始想，这种是倒过来想 如果继续用分解开始想，我记得以前可以用实对称矩阵存在正交矩阵解的，忘了是不是了。 对于det|A|=0有，存在可逆矩阵P,Q使 PAQ=Er 0 ,r为A的秩,令PAQ=B 0 0 则有A=P-1BQ-1=P-1EBQ=P-1Q-1QB-1 令C=P-1Q-1,D=QBQ-1,且C可逆 考虑B=Er 0,D=Q-1BQ=B,B对称,D对称 0 0 A=CD 今天网费没了，晚上连上隔壁宿舍的网才能回答，抱歉
再问： 太感谢你了，这么能帮我解决这么多问题，真是好人 其实这个分解的方法我在最开始的时候就试过了，但我实在是想不通怎么给出Q-1BQ这个矩阵是对称阵的证明……就放弃了想别的方法了…… 最后再请教一个问题，Q-1BQ 这个矩阵对称是怎么得到的？为什么Q-1BQ=B？ 实在是太麻烦你了，小弟感激涕零
再答： 考虑Q=Q1Q2……Qs，则Q-1=Qs-1……Q2-1Q1-1。其中Qi是初等矩阵 考虑初等矩阵E[i,j]，左乘代表i行j行交换，右乘代表i列j列交换，且E-1[i,j]=E[i,j] 对于B=Er 0, 考虑QiBQi-1=E[i,j]BE[i,j],你会发现你会发现交换行i,j，然后交换列i,j,操作后行列式不变 0 0 考虑初等矩阵E[i,j(k)],左乘代表i行加上k乘j行，右乘是j列j加上k乘i列操作，且E-1[i,j(k)]=E[i,j(-k)] 对于B=Er 0, 考虑QiBQi-1=E[i,j(k)]BE[i,j(-k)],代表i行+k*j行，j列-k*i列，操作后也是不变的 0 0 至于E-1[i(k)]=E[i(k^-1)]就不说了，那么考虑QBQ-1=Q1Q2……（QsBQs-1）……Q2-1Q1-1，从中间开始算，QBQ-1=B。(是否对称矩阵也满足呢？你可以试一下，对于实对称矩阵存在正交矩阵Q，使QTAQ对角化，QT=Q-1，所以对称矩阵是不满足的) 累。。。QBQ-1=B，你当作结论来用就行了
再问： 感激涕零啊……太谢谢了，帮了我大忙了，剩下这点分都给追加上了 现在正在复习线性代数，突然出来这么个题怎么都想不明白了，太谢谢了
再答： 我也只是刚刚复习完一个星期。互相帮助而已，不客气