搜狗做题网求解一道极限题（不可用洛必达法则）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 02:03:57
求解一道极限题（不可用洛必达法则）
n→∞时,lim n^(1/n) = 1 即n开n方根的极限为1
前提是不可用洛必达法则,
n→∞时,lim n^(1/n) = 1 即n开n方根的极限为1
前提是不可用洛必达法则,
证：n={1+[n^(1/n)-1]}^n
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
当n＞2时,上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,
即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,整理得
0＜n^(1/n)-1＜2/√n,由夹逼准则得
lim[n^(1/n)-1]=0,即
limn^(1/n)=1
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
当n＞2时,上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,
即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,整理得
0＜n^(1/n)-1＜2/√n,由夹逼准则得
lim[n^(1/n)-1]=0,即
limn^(1/n)=1