四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,角ADC=60度且ABCD为菱形,M为PB的中

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 04:23:12

四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,角ADC=60度且ABCD为菱形,M为PB的中点
（1）求证：PA垂直平面CDM
（2）求二面角D-MC-B的余弦值

第一个问题：
过M作MN∥CD交PA于N.
∵ABCD是菱形,∴BA∥CD,而MN∥CD,∴MN∥BA,又M∈PB且BM＝PM,∴AN＝PN.
∵ABCD是菱形,∴AD＝DC,又∠ADC＝60°,∴△ACD是正三角形,∴AC＝DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC＝DC.
∵AC＝DC、PC＝DC,∴AC＝PC,又N∈PA且AN＝PN,∴PA⊥CN.
∵ABCD是菱形,∴AD＝DC.
∵△PDC是正三角形,∴PD＝DC.
∵AD＝DC、PD＝DC,∴AD＝PD,又N∈PA且AN＝PN,∴PA⊥DN.
由PA⊥CN、PA⊥DN、CN∩DN＝N,得：PA⊥平面CDN.
∵MN∥CD,∴C、D、N、M共面,而PA⊥平面CDN,∴PA⊥平面CDM.
第二个问题：
∵ABCD是菱形,∴BC＝DC.
∵△PDC是正三角形,∴PC＝DC.
由BC＝DC、PC＝DC,得：BC＝PC,又M∈PB且BM＝PM,∴MC⊥PM.
由第一个问题的结论,有：PA⊥平面CDM,∴MC⊥PA.
由MC⊥PM、MC⊥PA、PM∩PA＝P,∴MC⊥平面PAB,而MN在平面PAB上,∴MN⊥MC.
由PM⊥MC、MN⊥MC,得：∠PMN为二面角D－MC－B的平面角.
∵MN∥BA,∴∠PMN＝∠PBA.
∵PA⊥平面CDM,∴DC⊥PA,而AB∥DC,∴AB⊥PA.
取DC的中点为E,过B作BF⊥DC交DC的延长线于F.
∵△PCD是正三角形、E∈DC且CE＝DE,∴PE⊥DC.
∵平面PCD⊥平面ABCD、平面PCD∩平面ABCD＝DC、PE⊥DC,∴PE⊥平面ABCD,
∴PE⊥BE.
∵AD∥BC,∴∠BCF＝∠ADC＝60°,又BC＝2、BF⊥CF,∴CF＝1、BF＝√3.
显然有：CE＝DC/2＝1,∴EF＝CE＋CF＝1＋1＝2.
∴由勾股定理,有：BE＝√（BF^2＋EF^2）＝√（3＋4）＝√7.
∴再由勾股定理,有：PB＝√（PE^2＋BE^2）＝√（7＋3）＝√10.
由锐角三角函数定义,有：cos∠PBA＝AB/PB＝2/√10＝√10/5.
∴二面角D－MC－B的余弦值是 √10/5.

四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,角ADC=60度且ABCD为菱形. 四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直,角ADC=60度且ABCD为菱形,M为PB的中四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M为PB的中点四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是以∠ADC为锐角的菱形. 高一数学27四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M 在四棱锥p-abcd中,侧面pdc是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面abcd是棱形且∠ADC为锐角、四棱锥p-abcd中,侧面pdc是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面abcd是棱形且角adc=60度 1求证、p.. 如图所示,四棱锥P—ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直. 四凌锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是以角ADC为锐角的菱形.1）问：当角ADC为多如图所示,四棱锥P—ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直.底面ABCD是面积为2根号3的菱形, 在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是面积为2√3的菱形如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60度