已知PD⊥面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是PB的中点,Cos=√3/3

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:01:46

已知PD⊥面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是PB的中点,Cos=√3/3
①建立适当的空间直角坐标系,写出点E的坐标
②在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB
求详细步骤好的话我会追加分数的

第一个问题：
以D为原点,DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点E落在第一卦限内.
容易得出A、B、C、D的坐标依次为（0,2,0）、（2,2,0）、（2,0,0）、（0,0,0）.
设点P的坐标为（0,0,m）,则：点E的坐标为（1,1,m/2）.
∴向量DP＝（0,0,m）、向量AE＝（1,－1,m/2）.
∴向量DP·向量AE＝0＋0＋m^2/2＝m^2/2,
　｜向量DP｜＝√（0＋0＋m^2）＝m、｜向量AE｜＝√（1＋1＋m^2/4）＝√（2＋m^2/4）.
∴cos＜向量DP,向量AE＞＝向量DP·向量AE/（｜向量DP｜｜向量AE｜）＝√3/3,
∴（m^2/2）/［m√（2＋m^2/4）］＝√3/3,∴m/√（8＋m^2）＝√3/3,∴3m＝√（24＋3m^2）,
∴9m^2＝24＋3m^2,∴6m^2＝24,∴m^2＝4,∴m＝2.
∴点E的坐标是（1,1,1）.
第二个问题：
∵点F在平面ADP内,∴可设点F的坐标为（0,a,b）,∴向量EF＝（－1,a－1,b－1）.
又向量BP＝（－2,－2,2）、向量BC＝（0,－2,0）.
∴向量EF·向量BP＝2－2a＋2＋2b－2＝2－2a＋2b、向量EF·向量BC＝0－2a＋2＋0＝2－2a.
∵EF⊥平面PCB,∴向量EF⊥向量BP、向量EF⊥向量BC,
∴向量EF·向量BP＝向量EF·向量BC＝0,∴2－2a＋2b＝2－2a＝0,∴a＝1、b＝0.
∴点F为AD的中点,坐标是（0,1,0）.
注：坐标系有多种建立的方式,在不同的坐标系中,点E、F的坐标是有差别的.

已知PD⊥面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是PB的中点,Cos=√3/3 如图,PD⊥底面ABCD,ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,且异面直线DP与AE所成角的余弦值为√3/3.试在三角形ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD=PC,E是PC的中点,证明DE⊥面PBC,求二面角C-PB-D的大小在四棱锥p-abcd中,地面abcd是边长为2的正方形,pd垂直平面abcd,且pd=ad,e为pd的中点如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点．在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且A 四边形ABCD是正方形,MA垂直于平面ABCD,PD平行于MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,AD=PD=2M 在四棱柱P-ABCD中,PD垂直底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. 在四棱锥P-ABCD中,PD垂直底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点 . 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA垂直面ABCD,PD平行MA,E,G,F分别为MB,PB,PC中点如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外的一点,PD⊥平面ABCD,O、E、F分别是AC、PA、PB的中点