函数的无穷小因式什么时候才可以用无穷小来替换?乘除?加减?（请详细回答）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 14:12:05

函数的无穷小因式什么时候才可以用无穷小来替换?乘除?加减?（请详细回答）
lim (tan5x -sin3x)/sin5x可以用sinx=x直接替换吗?那lim(1-（1+cosx-1）^(1/n))可以用（1+x）^a=1+ax来替换吗?(x趋向0)

整体规则：同价时都可以换,无论是加、减、乘、除.
这是极限计算的基本方法,是最基本的常识（Common Sense）.
这里的“同价”指：
1：指数必须一样,如(sinx)^2 与 x^2,
(tanx)^5 与 (sinx)^5.
2：未知数系数必须一样,如sin3x 与 3x,
tan7x 与 sin7x.
lim (tan5x -sin3x)/sin5x可以用sinx=x直接替换吗?
答：tan5x 可以换成 5x
sin3x 可以换成 3x
sin5x 可以换成 5x
结果：（5x - 3x)/5x = 2/5
lim(1-（1+cosx-1）^(1/n))可以用（1+x）^a=1+ax来替换吗?(x趋向0)
答：作为近似计算/估算,是可以的.
但是,作为极限的准确计算就不可以,
如(1 + x)^(1/x),当x趋向于0时,等于e = 2.71828.,
一级近似估算的结果是：1 + x*（1/x）= 2.
结论：作为麦克劳林级数、泰勒级数的估算都是可以的.但作为极限的等价无穷小(equivalent infinitesimal)代换(Substitution)就不对了.

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