矩阵A,B的特征根正负个数相同,A与B合同吗?

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 16:07:53

矩阵A,B的特征根正负个数相同,A与B合同吗?
我知道特征根一样（即A,B相似）能推出A,B合同.如果只是特征根正负个数相同呢?

首先纠正你一个错误,首先特征根一样不一定相似.
相似也不一定合同.

你这题必须要求他们是对称矩阵.

如果是对称矩阵的话,可以,在合同的角度上,只要有正负就可以了,因为合同是等价关系,可以传递.
对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负1的对角矩阵且其正负1的个数分别等于正特征值的个数和负特征值的个数.用二次型的规范型可以很容易证到这点.
或者,对角线上第i个元素是a（不等于零）,那么你左乘一个将第i行乘了（a的绝对值）^0.5的单位矩阵,同样右乘一个,那么这个元素变为正负1,其正负于a同号,另外用互换两行的单位矩阵,左右乘该矩阵,可以调换对角线上各元素,故,该命题成立.
再问：谢谢！再麻烦下啊前提：a,b都是对称矩阵。一。如果特征根相同，则a,b相似。a,b合同。特征根是化成对角阵后的对角元素。二。如果特征根不相同，但正负个数分别相等，则a,b合同。上面都对吗？
再答：对的，我下面证的就是你说的结论。

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