一道有关平面向量的高一数学题
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 09:11:13
一道有关平面向量的高一数学题
O是平面上的坐标原点,A,B,C是平面上三点(不在一条直线上).
且向量ab^2+向量oc^2=向量ac^2+向量ob^2=向量bc^2+向量oa^2
求证 o是三角形abc的垂心
O是平面上的坐标原点,A,B,C是平面上三点(不在一条直线上).
且向量ab^2+向量oc^2=向量ac^2+向量ob^2=向量bc^2+向量oa^2
求证 o是三角形abc的垂心
![一道有关平面向量的高一数学题](/uploads/image/z/1713252-12-2.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%9C%89%E5%85%B3%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9A%84%E9%AB%98%E4%B8%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98)
由已知“AB^2+OC^2=AC^2+OB^2”
逐步化简如下:
AB^2-AC^2=OB^2-OC^2
(AB+AC)*(AB-AC)=(OB+OC)*(OB-OC)
(AB+AC)*CB=(OB+OC)*CB
(AB+AC)*CB-(OB+OC)*CB=0
(AB+AC-OB-OC)*CB=0
[(AB-OB)+(AC-OC)]*CB=0
(AO+AO)*CB=0
2AO*CB=0
得到:AO*CB=0
故AO垂直于CB
同理可得:BO垂直于AC,CO垂直于BA
故O是三角形ABC的垂心
逐步化简如下:
AB^2-AC^2=OB^2-OC^2
(AB+AC)*(AB-AC)=(OB+OC)*(OB-OC)
(AB+AC)*CB=(OB+OC)*CB
(AB+AC)*CB-(OB+OC)*CB=0
(AB+AC-OB-OC)*CB=0
[(AB-OB)+(AC-OC)]*CB=0
(AO+AO)*CB=0
2AO*CB=0
得到:AO*CB=0
故AO垂直于CB
同理可得:BO垂直于AC,CO垂直于BA
故O是三角形ABC的垂心