高一数字.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/26 01:48:18

高一数字.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|
求函数y=f(x)在区间［1,2］上的最小值.学渣想问问数学霸们,为何a>2时要考虑3的情况.´▽`
设a≠0,函数f(x)在f(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围T^T不懂啊求详解亲爱的数学霸们！

(1)

将f(x)化为分段函数：
f(x)=x^2-ax,x≥a（开口向上,对称轴x=a/2）
f(x)=-x^2+ax,x<a（开口向下,对称轴x=a/2）
注意到f(a)=0（即x=a为f(x)的一个零点）

当a≤0时,f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=1-a

当a>0时,f(x)在区间[1,2]上的最小值与对称轴x=a/2、零点x=a的位置相关,讨论如下：
若0<a≤1（对称轴x=a/2、零点x=a都在区间[1,2]的左侧）,f(x)在区间[1,2]上为增函数
    此时f(x)min=f(1)=1-a
若1<a≤2（对称轴x=a/2在区间左侧、零点x=a在区间上）,f(x)在区间[1,2]上不单调
    此时f(x)min=f(a)=0
若2<a≤4（对称轴x=a/2在区间上、零点x=a在区间右侧）,f(x)在区间[1,2]上不单调
    此时f(x)min=min{f(1),f(2)}=min{a-1,2a-4}
    令a-1=2a-4,则a=3
    则当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
    而当3<a≤4时,f(x)min=a-1
若a>4（对称轴x=a/2、零点x=a都在区间右侧）,f(x)在区间[1,2]上为增函数
    此时f(x)min=f(1)=a-1

综上知：
当a≤1时,f(x)min=1-a
当1<a≤2时,f(x)min=0
当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
当a>3时,f(x)min=a-1

（2）因定义区间(m,n)为开区间,端点取不到最值
要使f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值
则必须保证对称轴x=a/2和零点x=a同时在区间上
即有m<a/2<n,且m<a<n
若a<0时,m<a且n>a/2
若a>0时,m<a/2且n>a

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