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设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(x∈R),已知F(x)=f(x)-f′(x)是奇函数,且F(1)=11.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 13:50:41
设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(x∈R),已知F(x)=f(x)-f′(x)是奇函数,且F(1)=11.
(1)求b、c、d的值;
(2)求F(x)的单调区间与极值.
设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(x∈R),已知F(x)=f(x)-f′(x)是奇函数,且F(1)=11.
(1)f'(x)=3x2+2bx+c,
∴F(x)=f(x)-f′(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x+d-c,
∵F(x)是奇函数,
∴b-3=0,且d-c=0,即b=3,d=c.
∴F(x)=x3+(c-2b)x.
∵F(1)=11,
∴F(1)=1+c-2b=11,
即c-2b=10,∴c=2b+10=16,
又d=c,可得d=16.
综上知,b=3,c=16,d=16.
(2)由(1)知f(x)=x3+3x2+16x+16.
f'(x)=3x2+6x+16=3(x+1)2+15>0,
∴函数单调递增,无极值.
即函数F(x)的单调区间是R,无极值.