定义C[-π,π]的内积为(f,g)=∫[-π->π]f(x)g(x)dx,证明函数簇{1,cosx,sinx,cos2

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 09:18:42

定义C[-π,π]的内积为(f,g)=∫[-π->π]f(x)g(x)dx,证明函数簇{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,Lcosnx,sinnx,L}是正交函数簇.

法一,你给的这个函数族就是傅里叶变换的基!傅里叶变换理论就是建立在这组基是正交的基础上的,找本高数书,翻到“傅里叶级数”那一章,应该有证明这组基是正交的过程.
法二,自己证明
所谓“a,b正交”,就是“a,b内积为0”,这两句话是一个意思.而函数空间的内积定义已经给出,那我们只要带进去算一算,到底内积是不是为0可以了.如果这组基里不同两个元素的内积都是0,那就是正交函数簇.
比如先看1和其他所有元素的内积：
那就是f=1,g=sinx,sin2x,...,cosx,cos2x...
∫[-π->π]f(x)g(x)dx
=∫[-π->π]1*sin(nx)dx
=-[cos(nx)]/n | 上π,下-π
=0
.
再证明1和cosnx,sinnx和sinmx,cosnx和cosmx,sinnx和cosmx的内积都是0就可以了,其实高数书上也就是这样证明的.这个求积分应该不难吧,sin和cos相乘,用一次积化和差公式,就可以积分出原函数了,在把±π代入进去看看就行了

定义C[-π,π]的内积为(f,g)=∫[-π->π]f(x)g(x)dx,证明函数簇{1,cosx,sinx,cos2 在R[x]中,定义内积(f(x),g(x))=∫（0,1）f(x)g(x)dx,则f(x)=1, 已知f（x）的一个原函数为sinx/x ,证明∫xf'(x)dx=cosx-2sinx/x+c 怎么证明已知函数f（t）=根号项1-t/1+t，g（x）=cosx×f（sinx）+sinx×f（cosx),x∈（π，17π/ 已知函数f(t)=根号[（1-t）/（1+t）],g(x)=cosx·f(sinx)+sinx·f(cosx),x∈（π 已知函数f(t)=√[(1-t)/(1+t)],g(x)=cosx*f(sinx)+sinx*f(cosx),x属于（π 已知函数f(x)=sinx与g(x)=cosx,x∈﹙0,2π﹚,求不等式f(x)≤g(x)的解集 f(x)+g(x)=cosx/√(1-sinx),x∈(-π/2,π/2)且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数设f(x)为连续函数,证明:∫(0,π)f(丨cosx丨)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx 设x∈【0,π/2】,f(x)=sin(cosx),g(x)=cos(sinx),把0,1,f(x)的最大值和g(x)的设f(x)∈C[0,1],证明∫（π,0）*x*f(sinx)dx =π/2*∫（π,0）*f(sinx)dx 若f(x)在[0,1]上连续,证明 ∫【上π/2下0】f(sinx)dx= ∫【上π/2下0】f(cosx)dx