搜狗做题网导数的公式证明
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 13:08:01
导数的公式证明
这是高数一（上)复合函数求导定理的完整证明
定理：如果u=g（x）在点x可导,而y=f（u）在点u=g（x）可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,则其导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)或dy/dx=dy/du·(du/dx)
证明：由于y=f（u）在点u可导,因此
lim△y/△u=f'(u)存在
于是根据极限与无穷小的关系有△y/△u=f'(u)+a,
其中a是△u→0时的无穷小,上式中△u不等于0,用△u乘上式两边,得△y=f'(u)·△u+a·△u （1）
当△u=0时,规定a=0,这时因△y=f（u+△u）-f（u）=0,（1）式右端也为0.（1）式对故△u=0也成立,用△x不等于0除以上式两边得：
△y/△x=f'(u)△u/△x+a△u/△x
于是lim△y/△x=lim[f'(u)△u/△x+a△u/△x] (△x→0)
根据函数在某点可导必在改点连续的性质知道,当△x→0时,△u→0,从而可以推知lim（△u→0）a=lim（△x→0）a=0
又因u=g（x）在点x处可导,有lim（△x→0）△u/△x=g'(x),
故lim（△x→0）△y/△x=f'(u)lim（△x→0）△u/△x,
即dy/dx=f'(u)g'(x)=f'(g(x))·g'(x)
定理：如果u=g（x）在点x可导,而y=f（u）在点u=g（x）可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,则其导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)或dy/dx=dy/du·(du/dx)
证明：由于y=f（u）在点u可导,因此
lim△y/△u=f'(u)存在
于是根据极限与无穷小的关系有△y/△u=f'(u)+a,
其中a是△u→0时的无穷小,上式中△u不等于0,用△u乘上式两边,得△y=f'(u)·△u+a·△u （1）
当△u=0时,规定a=0,这时因△y=f（u+△u）-f（u）=0,（1）式右端也为0.（1）式对故△u=0也成立,用△x不等于0除以上式两边得：
△y/△x=f'(u)△u/△x+a△u/△x
于是lim△y/△x=lim[f'(u)△u/△x+a△u/△x] (△x→0)
根据函数在某点可导必在改点连续的性质知道,当△x→0时,△u→0,从而可以推知lim（△u→0）a=lim（△x→0）a=0
又因u=g（x）在点x处可导,有lim（△x→0）△u/△x=g'(x),
故lim（△x→0）△y/△x=f'(u)lim（△x→0）△u/△x,
即dy/dx=f'(u)g'(x)=f'(g(x))·g'(x)