将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合.已知AB=

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合.已知AB=2√3,P是AC上的一个动点.
（1）当点P运动到∠ABC得平分线上时,连接DP,求DP的长.
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时,以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点恰好在边BC上?求出此时平行四边形DPBQ的面积

（1）当点P运动到∠ABC得平分线上时,连接DP,求DP的长.
求DP 解法一：
由题意,在 Rt△ABC 中,
∠ABC = 60° ,AB = 2√3,
由 sin∠ABC = AC / AB 得：
AC = AB × sin∠ABC
= 2√3 × sin60°
= 2√3 × （√3/2）
= 3
由 cos∠ABC = BC / AB 得：
BC = AB × cos∠ABC
= AB × cos60°
= 2√3 × （1/2）
= √3
∵ BP 平分 ∠ABC,
∴ ∠PBC = （1/2）× ∠ABC
= （1/2）× 60°
= 30°
在 Rt△PBC 中,
PC = BC × tan∠PBC
= BC × tan30°
= √3 × (√3/3)
= 1
在等腰直角三角形ADC中,
过点D 作DE ⊥ AC 与 点E,
则：DE = EC = (1/2) × AC = (1/2) × 3 = 3/2
∴ EP = EC -- PC
= 3/2 -- 1
= 1/2
在Rt△DEP 中,由勾股定理得：
DP方 = DE方 + EP方
= (3/2)方 + (1/2)方
= 10 / 4
∴ DP = √(10/4) = (√10) / 2
以上解答中,您也可以由“在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半”直接得出BC = AB/2 = √3.进而用勾股定理求出AC=3.
求DP 解法二：适用高中知识“余弦定理”.
在等腰直角△ADC中,DC = AC × cos∠DCA
= AC × cos45°
= 3 × (√2/2)
= (3√2) / 2
∴ DC方 = [ (3√2) / 2 ]方 = 9/2
∴ DP方 = DC方 + PC方 -- 2 × DC × PC × cos∠DCA
= 9/2 + 1 -- 2 × [ (3√2) / 2 ] × 1 × cos45°
= 9/2 + 1 -- 2 × [ (3√2) / 2 ] × 1 × (√2/2)
= 9/2 + 1 -- 3
= 5/2
∴ DP = √(5/2) = (√10) / 2.
（2）当点P在运动过程中出现DP=BC时,
此时∠PDA的度数为：15° 或 75° ,需分别讨论：
在等腰直角三角形ADC中,∠DAP = 45°
过点D 作DE ⊥ AC 与 点E,
则：DE = EC = (1/2) × AC = (1/2) × 3 = 3/2
而DP = BC = √3
∵ √3 ≠ 3/2 ,即 DP 与 DE 不重合、点P与点E不重合,
∴ 当点P在运动过程中出现DP=BC时, 有两个时刻：
① 点P尚未越过 点E 前；② 点P越过 点E 之后.
① 点P尚未越过 点E 前：
在 Rt△DPE 中,
sin∠DPE = DE / DP
= (3/2) / √3
= √3 / 2
而 sin60° = √3 / 2
∴ ∠DPE = 60°
∴由 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 知：
∠DPE = ∠DAP + ∠PDA
∴∠PDA = ∠DPE -- ∠DAP
= 60° -- 45°
= 15°
② 点P越过 点E 之后：
在 Rt△DPE 中,
sin∠DPE = DE / DP
= (3/2) / √3
= √3 / 2
而 sin60° = √3 / 2
∴ ∠DPE = 60° ,即：∠DPA = 60°
在 △DPA 中,由三角形内角和定理得：
∠PDA = 180° -- ∠DPE -- ∠DAP
= 180° -- 60° -- 45°
= 75°
（3）顶点 “Q” 恰好在边BC上.您题中少打了 Q .
当点P运动到AC的中点处时,
以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上.理由如下：
∵ 四边形DPBQ 是平行四边形
∴ DP ‖ BQ
而 BQ ⊥ AC
∴ DP ⊥ AC .即：DP是等腰Rt△DAC的底边AC 上的高.
∴ 点P 此时为线段AC的中点.（等腰三角形底边上的高平分底边）
∴当点P运动到AC的中点处时,以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上.
求此时平行四边形DPBQ的面积：
以 DP 为底,以 DP 与 BQ 间的 垂线段长 为高.
DP 与 BQ （也可以说DP 与 BC）间的垂线段长即为PC.
∵ DP ⊥ AC
∴ 点P为AC的中点
∴ PC = DP = AC/2 = 3/2
∴ S平行四边形DPBQ = DP × PC
= (3/2) × (3/2)
= 9/4