搜狗做题网已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 15:11:18
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；
（II）求a1+a2+…an（n∈N*）
（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；
（II）求a1+a2+…an（n∈N*）
（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以
an+1+an
an+an−1=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即
an+1−3an
an−3an−1=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=
1
4•3n−
1
4•(−1)n，
∴a1+a2+…an=
1
4（31+32+33+…+3n）-
1
4[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=
1
8[3n+1+(−1)n+1−2] （n∈N*）．
所以
an+1+an
an+an−1=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即
an+1−3an
an−3an−1=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=
1
4•3n−
1
4•(−1)n，
∴a1+a2+…an=
1
4（31+32+33+…+3n）-
1
4[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=
1
8[3n+1+(−1)n+1−2] （n∈N*）．
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．
已知数列{an}中,a1=-1,a2=2,且an+1+an-1=2(an +1)(n≥2,n∈N
在数列{an}中,已知(a1+a2+…+an)/n=(2n-1)an
已知数列｛an｝中a1=6,且an-an-1=(an-1/n)+n+1(n属于N*,n≥2）,求an
在数列{an}中，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N*，n≥3），则a2010=______．
已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an
已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1
已知数列{an}满足：a1=3,an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（Ⅰ）证明数列{(an-1)/an-2
已知数列{an}中，a1=1，an=3an-1+4，（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an=______．
已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1