已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 02:25:36

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)．
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴b＝c＝1 ， a＝
2．
∴所求椭圆方程为
x2
2+y2＝1．    （4分）
（Ⅱ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．
因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

x2+2y2＝2
y＝k(x−1)可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∴x1+x2＝
4k2
1+2k2，x1x2＝
2k2−2
1+2k2．

MP＝(x1−m， y1)，

MQ＝(x2−m， y2)，

PQ＝(x2−x1， y2−y1)．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形等价于(

MP+

MQ)⊥

PQ，即(

MP+

MQ)•

PQ＝0
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
∴(
4k2
1+2k2−2m)+k2(
4k2
1+2k2−2)＝0
∴2k²-（2+4k²）m=0
∴m＝
k2
1+2k2(k≠0)．
∴m＝
1

1
k2+2
∵
1
k2+ 2＞2
∴0＜m＜
1
2．  （12分）．