已知椭圆C的中心在原点,焦点在 x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:01:54

已知椭圆C的中心在原点,焦点在 x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）
（1）求椭圆C的方程：
（2）设点P是椭圆C的左准线与 x轴的交点,过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时,求直线L的斜率的取值范围

已知椭圆C的中心在原点,焦点在 x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1）求椭圆C的方程：（2）设点P是椭圆C的左准线与 x轴的交点,过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时,求直线L的斜率的取值范围
(1).2b=2c,故b=c,正方形的面积=b²+c²=2b²=8,∴b²=4,a²=b²+c²=8,e=c/a=(√2)/2
故椭圆方程为x²/8+y²/4=1,即x²+2y²=8.
(2) 左准线：x=-a/e=-2√2/(√2/2)=-4；故P的坐标为(-4,0).
设过P的直线L的方程为y=k(x+4),当K=0时,该直线与x轴重合,此时M是椭圆的左端点,N是椭圆的右端点,因此MN的中点就是椭圆中心,即坐标原点.
将直线L的方程代入椭圆方程得x²+2k²(x+4)²=8
展开化简得(1+2k²)x²+16k²x+32k²-8=0
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)；MN的中点G的坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
依韦达定理,x ₁+x₂=-16k²/(1+2k²)；
y₁+y₂=k(x₁+4)+k(x₂+4)=k(x₁+x₂)+8k=-16k³/(1+2k²)+8k=8k/(1+2k²)；
故中点G的坐标为(-8k²/(1+2k²),4k/(1+2k²)).
正方形F₁B₁F₂B₂之二相邻边F₁B₁和F₁B₂所在直线的方程依次为y=x+c=x+2
和y=-x-c=-x-2；
当中点G落在F₁B₁和F₁B₂上时便得到直线L的斜率K的最大值和最小值.将G的坐标代入
方程y=x+2得：
4k/(1+2k²)=-8k²/(1+2k²)+2
化简得2k²+2k-1=0,得k=(-2±√12)/4=(-1±√3)/2
负值不合理,应舍去,应取Kmax=(-1+√3)/2；
将G的坐标代入方程y=-x-2得：
4k/(1+2k²)=8k²/(1+2k²)-2
化简得2k²-2k-1=0,故k=(2±√12)/4=(1±√3)/2
正值不合理,应舍去,应取kmin=(1-√3)/2.
即(1-√3)/2≦k≦(-1+√3)/2,这就是直线L的斜率K的取值范围.