关于质数、完全平方数的奥数题

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 09:57:51

关于质数、完全平方数的奥数题
M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M

1、因为N-N是一个质数,所以M和N的公约数要么是1,要么是M-N(理由:两数的公约数,必定也是这两数之差的约数.而M-N又是质数,质数的约数只有1和本身);
2、将M和N表示成以下形式:M=a^2*x,N=b^2*y
(任何自然数都可以这么表示,比如7=1^2*7,24=2^2*6,其中x,y中不含除1外的其他完全平方数因子)
因为MN是一个完全平方数,所以上式中xy必定为完全平方数.又因为x,y中不含除1外的其他完全平方数因子,所以必定x=y,所以x是M和N的公约数.根据第1条的分析,x要么等于1,要么等于M-N.
3、假如x=M-N,则有x=M-N=a^2*x-b^2*x=(a^2-b^2)*x,即a^2-b^2=1,矛盾（因为b不能等于0）；
4、所以x=1.由此得,M和N都是完全平方数；
5、已知M,N是完全平方数,又是一个四位自然数且小于2006,不很容易求出M吗?
因为a^2-b^2=(a+b)(a-b),要使M-N是质数,必须使a+b是质数且a-b=1;
所以M可能的值为：
M=34^2=1156;
M=36^2=1296;
M=37^2=1369;
M=40^2=1600;
M=42^2=1764;

关于质数、完全平方数的奥数题帮助证明质数两个完全平方数中间至少有两个质数小的平方数大于等于1 关于~求证~完全平方数的! 关于完全平方数的几道题一个关于完全平方数的数学题一道关于完全平方数的数学题平方数的问题1.什么是完全平方数?什么是不完全平方数?2.完全平方数的特征.3.关于不完全平方数的结论, 关于完全平方数除以3的余数 P的平方+M的平方=N的平方,其中P味质数,M,N为自然数.求证：2(P+M+1）是完全平方数 P为质数,P的4次方的所有约数之和为完全平方数,求P是多少已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1个不为1的完全平方数之积,则满足质数的平方数有几个因数