一道数列综合题已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 00:12:08
一道数列综合题
已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和
①设bn=a2n,证明:数列{bn}是等比数列
②求T2n
③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值?
已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和
①设bn=a2n,证明:数列{bn}是等比数列
②求T2n
③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值?
【解】①an×a(n+1)=(1/2)^n,a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)
两式相除,得:a(n+1)/a(n-1)=1/2,那么a(n+2)/an=1/2
而bn=a2n,b(n+1)=a(2n+2),所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2,为常数
而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2,所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列
②bn=(1/2)^n (n∈N+),其前n项和Bn=1/2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
令cn=a(2n-1),同理可得cn是以c1=a1=1为首项、1/2为公比的等比数列,
cn=(1/2)^(n-1),其前n项和Cn=1×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)
所以T2n=Bn+Cn=1-(1/2)^n+2-(1/2)^(n-1)
=3-3×(1/2)^n
③64T2n×a2n≤3(1-kan),a2n=bn=(1/2)^n
那么64×[3-3×(1/2)^n]×(1/2)^n≤3[1-k×(1/2)^n]
化简,得:k≤(2^n)+64×(1/2)^n-64,对于一切n∈N+恒成立
那么k要小于等于(2^n)+64×(1/2)^n-64的最小值
而(2^n)+64×(1/2)^n-64≥(2√64)-64=-48 (当且仅当(2^n)=64×(1/2)^n,即n=3时取等)
所以k≤-48,即实数k的最大值为-48
两式相除,得:a(n+1)/a(n-1)=1/2,那么a(n+2)/an=1/2
而bn=a2n,b(n+1)=a(2n+2),所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2,为常数
而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2,所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列
②bn=(1/2)^n (n∈N+),其前n项和Bn=1/2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
令cn=a(2n-1),同理可得cn是以c1=a1=1为首项、1/2为公比的等比数列,
cn=(1/2)^(n-1),其前n项和Cn=1×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)
所以T2n=Bn+Cn=1-(1/2)^n+2-(1/2)^(n-1)
=3-3×(1/2)^n
③64T2n×a2n≤3(1-kan),a2n=bn=(1/2)^n
那么64×[3-3×(1/2)^n]×(1/2)^n≤3[1-k×(1/2)^n]
化简,得:k≤(2^n)+64×(1/2)^n-64,对于一切n∈N+恒成立
那么k要小于等于(2^n)+64×(1/2)^n-64的最小值
而(2^n)+64×(1/2)^n-64≥(2√64)-64=-48 (当且仅当(2^n)=64×(1/2)^n,即n=3时取等)
所以k≤-48,即实数k的最大值为-48
一道数列综合题已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项
已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列,
一道【数列】解答题已知数列{an}满足an/an-1=(n+1)/(n-1),(n∈N*,n>1),a1=2注意:an-
.感激= 已知数列{an}中,a1=3,an=(2^n)*a(n-1) (n》2,n∈N*)求数列an通项公式
已知数列{an}中,a1=5,an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N*,n≥2) 求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(n≥1,n∈N*).
已知数列{an}满足a1=1,an-a(n+1)=ana(n+1),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证:{1/an
数列{an}的前n项和为Sn,已知A1=a,An+1=Sn+3^n(三的n次方),n∈N*
在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*)
已知数列an的前n项和为Sn=n^2+2n,求和:1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+...+1/(an*a(n+1