搜狗做题网已知椭圆C的中心在原点,左焦点为(-√3,0),离心率为√3/2.
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 04:31:46
已知椭圆C的中心在原点,左焦点为(-√3,0),离心率为√3/2.
设直线L与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时直线L与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB. 1.求椭圆C的方程. 2.求OM的模的最小值及此时直线L的方程
设直线L与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时直线L与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB. 1.求椭圆C的方程. 2.求OM的模的最小值及此时直线L的方程
左焦点是(-根号3,0),即有c=根号3
又有e=c/a=根号3/2,解得a=2,b^2=a^2-c^2=4-3=1
故椭圆方程是x^2/4+y^2=1.
(2)
设直线l:y=kx+b,(k0)
则A（0,b）,B（-b/k,0)
将直线方程代入椭圆方程,x²/4+（kx+b)²=1
即（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
只有一个交点,所以
△=0
(8kb)²-4（1+4k²）*(4b²-4)=0
即4k²-b²+1=0
所以b²=4k²+1
而向量OM=(-b/k,b)
|OM|=根号（-b/k）²+b²）=根号（5+1/k²+4k²)>=3
所以最小值3,当1/k^2=4k^2,即有k^2=1/2,k=-根号2/2时取得最小值.
b^2=4*1/2+1=3
b=根号3
故直线方程是y=-根号2/2x+根号3
再问： 谢谢你哈
又有e=c/a=根号3/2,解得a=2,b^2=a^2-c^2=4-3=1
故椭圆方程是x^2/4+y^2=1.
(2)
设直线l:y=kx+b,(k0)
则A（0,b）,B（-b/k,0)
将直线方程代入椭圆方程,x²/4+（kx+b)²=1
即（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
只有一个交点,所以
△=0
(8kb)²-4（1+4k²）*(4b²-4)=0
即4k²-b²+1=0
所以b²=4k²+1
而向量OM=(-b/k,b)
|OM|=根号（-b/k）²+b²）=根号（5+1/k²+4k²)>=3
所以最小值3,当1/k^2=4k^2,即有k^2=1/2,k=-根号2/2时取得最小值.
b^2=4*1/2+1=3
b=根号3
故直线方程是y=-根号2/2x+根号3
再问： 谢谢你哈
已知椭圆C的中心在原点,左焦点为(-√3,0),离心率为√3/2.
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