设F1,F2分别是椭圆x^2/5+y^2/4=1的左右焦点
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/20 04:52:04
设F1,F2分别是椭圆x^2/5+y^2/4=1的左右焦点
1,若P是该椭圆上的一个动点,求向量PF1*向量PF2的最大值和最小值.
2,是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C,D.使得/F2C/=/F2D/?若存在,求直线L的方程;若不存在,请说明理由.
1,若P是该椭圆上的一个动点,求向量PF1*向量PF2的最大值和最小值.
2,是否存在过点A(5,0)的直线与椭圆交于不同的两点C,D.使得/F2C/=/F2D/?若存在,求直线L的方程;若不存在,请说明理由.
1)设 P点坐标为(√5sinθ,2cosθ) F1(-1,0) F2(1,0)
PF1=(-1-√5sinθ,-2cosθ)
PF2=(1-√5sinθ,-2cosθ)
PF1*PF2=5sinθ^2-1+4cosθ^2=sinθ^2+3=(1-cos2θ)/2+3
(PF1*PF2)max=4
(PF1*PF2)min=3
2)假设存在这样的直线:y=kx+b 5k+b=0 k=-b/5
连接F2C,F2D,并作F2 垂直于CD,交直线y与H,△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为(x1,y1)D 点的坐标为(x2,y2)
∴ DH点的坐标为(x1+x/2,y1+y2/2)
DH的斜率为:5/b
把y=kx+b和x^2/5+y^2/4=1联立,并消去y:
(20+b^2)x^2-10b^2x+25b^2-100=0
根据二次方程定理:
x1+x2=10b^2/(20+b^2)
x1+x2/2=5b^2/(20+b^2)
同理:(y1+y2)/2=20b/(20+b^2)
∴直线的斜率也可以用k2=20b/(20+b^2)-0/(5b^2/(20+b^2)-1)=5/b
4b^2=4b^2-20
方程b无解
故不存在直线
使得/F2C/=/F2D/
完毕~
PF1=(-1-√5sinθ,-2cosθ)
PF2=(1-√5sinθ,-2cosθ)
PF1*PF2=5sinθ^2-1+4cosθ^2=sinθ^2+3=(1-cos2θ)/2+3
(PF1*PF2)max=4
(PF1*PF2)min=3
2)假设存在这样的直线:y=kx+b 5k+b=0 k=-b/5
连接F2C,F2D,并作F2 垂直于CD,交直线y与H,△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为(x1,y1)D 点的坐标为(x2,y2)
∴ DH点的坐标为(x1+x/2,y1+y2/2)
DH的斜率为:5/b
把y=kx+b和x^2/5+y^2/4=1联立,并消去y:
(20+b^2)x^2-10b^2x+25b^2-100=0
根据二次方程定理:
x1+x2=10b^2/(20+b^2)
x1+x2/2=5b^2/(20+b^2)
同理:(y1+y2)/2=20b/(20+b^2)
∴直线的斜率也可以用k2=20b/(20+b^2)-0/(5b^2/(20+b^2)-1)=5/b
4b^2=4b^2-20
方程b无解
故不存在直线
使得/F2C/=/F2D/
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