线性代数问题已知列向量组的秩为r,请问如何证明：列向量组中的任意r个线性无关的向量均构成它的一个极大线性无关组?（好像是

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 06:39:00

线性代数问题
已知列向量组的秩为r,请问如何证明：列向量组中的任意r个线性无关的向量均构成它的一个极大线性无关组?（好像是用极大线性组的定义证的,一个列向量为什么都能用这r个线性无关的向量表示出来?）

所谓极大无关组,说的专业一点就是“空间的基”.
举个例子,三维空间的一组基是：（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1）.那么三维空间的任何一个向量都能由这组基来表示.比如有个向量（a,b,c）,他用基俩表示就是:
（a,b,c）=a（1,0,0）+b（0,1,0）+c（0,0,1）
而三维空间的任意3个线性无关的向量都能作为一组基.比如（1,0,0）（1,1,0）（1,1,1）这3个也是可以的.
这是因为：
把它们排在一起作为一个矩阵：
A=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
这两个矩阵可以经过相似变化转化,A=[P^(-1)]*B*P
那么如果一个向量在A这组基下的坐标为x=（a,b,c）^T,它在新的基B的坐标就是：[P^(-1)]*x,所以新的基也能表示所有向量.