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已知函数f(x)=ax-1nx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的范围为___.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 16:43:33
已知函数f(x)=ax-1nx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的范围为___
已知函数f(x)=ax-1nx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的范围为___.
∵f(x)=ax-1nx,
∴f(x)>1即ax-1nx>1,得ax>1nx+1
∵x>1,∴原不等式转化为a>
lnx+1
x
设F(x)=
lnx+1
x,得F'(x)=
-lnx
x2
∵当0<x<1时,F'(x)>0;当x>1时,F'(x)<0
∴F(x)在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,+∞)上为减函数
可得F(x)在(0,+∞)的极大值为F(1),也是函数在(0,+∞)的最大值
∵a>
lnx+1
x在区间(1,+∞)内恒成立,
∴a≥F(1),即a≥1,可得实数a的范围为[1,+∞)
故答案为:[1,+∞)