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已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于点F.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 05:30:01
已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于点F.

(1)求证:△ADF∽△BDE;
(2)求证:△DEF∽△ABC.
已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于点F.
证明:(1)∵∠BAC=90°,AD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴四边形AEPF为矩形,
∴AF=EP,
∵∠EBP=∠DBA,
∴Rt△BEP∽Rt△BDA,

EP
AD=
BE
BD,

AF
AD=
BE
BD,即
AF
BE=
AD
BD,
∵∠DAF+∠BAD=90°,∠B+∠BAD=90°,
∴∠DAF=∠B,
∴△ADF∽△BDE;
(2)∵△ADF∽△BDE,
∴∠ADF=∠BDE,
DF
DE=
AD
BD,即
DF
AD=
DE
BD
而∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,∠DEF=90°,
∴∠ADB=∠FDE,
∴△DEF∽△DBA,
∴∠DEF=∠B,
∴Rt△DEF∽Rt△ABC.